1. Introdução
Diversos autores têm argumentado pela plausibilidade de usar
Modelagem
Matemática no ensino de matemática como alternativa ao
chamado “método
tradicional”1
(Bassenezi, 1990,
1994; Biembengut, 1990, 1999; Blum & Niss, 1991;
Borba, Meneghetti & Hermini, 1997, 1999). O movimento de
Modelagem Matemática
internacional e nacional tomou contorno nos últimos trinta
anos, contando com a
contribuição decisiva de matemáticos aplicados que migraram
para a área da Educação
Matemática (Blum & Niss, 1991; Fiorentini, 1996). A
partir daqui, deixaremos de usar
o adjetivo “Matemática” para o termo “Modelagem” – ficando
implícito – como um
recurso para evitar repetições.
No Brasil, Modelagem está ligada à noção de trabalho de
projeto. Trata-se em
dividir os alunos em grupos, os quais devem eleger temas de
interesse para serem
investigados por meio da matemática, contando com o
acompanhamento do professor
(Bassenezi,
1990, 1994; Biembengut, 1990, 1999; Borba, Meneghetti & Hermini, 1997,
1999). Porém, outras formas de organização das atividades
são apontadas na literatura.
Franchi (1993), por exemplo, utilizou uma situação-problema
“dirigida” para
sistematizar conceitos de Cálculo Diferencial e Integral.
Jacobini (1999) problematizou
um artigo de jornal com os alunos para abordar conteúdos
programáticos de Estatística.
As experiências no Brasil possuem um forte viés
antropológico, político e sóciocultural, já que têm procurado partir do
contexto sócio-cultural dos alunos e de seus
interesses (Fiorentini, 1996). Esta pode ser considerada uma
marca dos trabalhos
brasileiros de Modelagem, ao contrário do movimento
internacional que não apresenta
esta preocupação de forma muito aparente (Kaiser-Messmer,
1991).
As práticas escolares de Modelagem têm tido fortes
influências teóricas de
parâmetros emprestados da Matemática Aplicada. A compreensão
de Modelagem é
apresentada em termos do processo de construção do modelo
matemático, traduzido em
esquemas explicativos. Um modelo matemático, segundo Bassanezi
(1994, p. 31), é
quase sempre um sistema de equações ou inequações
algébricas, diferenciais, integrais,
etc., obtido através de relações estabelecidas entre as
variáveis consideradas
essenciais ao fenômeno sobre análise.
Há indícios, porém, das limitações desta transferência
conceitual para
fundamentar a Modelagem na E(e)ducaçao M(m)atemática. A
principal dificuldade diz
respeito aos quadros de referências postos pelo contexto
escolar; aqui, os propósitos, a
dinâmica do trabalho e a natureza das discussões matemáticas
diferem dos modeladores
profissionais. Matos e Carreira (1996) concluem que estas
diferenças contextuais levam
a distinções entre o que os alunos fazem em suas atividades
de Modelagem e o que é
esperado dos matemáticos aplicados.
Esta situação tem levado a algumas incoerências entre a
perspectiva teórica e a
prática de Modelagem na sala de aula. Ilustramos com um caso
relatado por
Biembengut (1990), em que os alunos investigaram quanto
custa construir uma casa.
Para isto, eles listaram os materiais necessários, coletaram
os preços, efetuaram cálculos
e organizaram os resultados, sem construírem um modelo
matemático propriamente
dito.
Outra ilustração pode ser trazida do relato de pesquisa de
Araújo (2000), que
aponta um grupo de alunas que criou uma situação-problema
imaginária – a
temperatura no decorrer do ano de uma cidade fictícia - para
abordá-la
matematicamente. Os modeladores profissionais, ao contrário,
investigam situações
concretas trazidas por outras áreas do conhecimento que não
a matemática.
A par disto, argumentamos por uma perspectiva teórica que se
ancore na prática
de Modelagem corrente na Educação Matemática e faça dela seu
objeto de crítica a fim
de nutrir a própria prática. O termo “crítica”, que vem do
grego kritiké, é entendido
como a arte de julgar e analisar (Japiassu & Marcondes,
1990). Não há a pretensão de
esgotar o assunto neste artigo, nem de colocar suas posições
na alteridade dos discursos.
Nossa intenção é apontar a necessidade de Modelagem - na
perspectiva da Educação3
Matemática - se envolver no ciclo permanente da
teoria-prática, oferecendo nossa
contribuição inicial.
O presente trabalho, portanto, se constitui numa modalidade
de ensaio teórico: um
estudo bem desenvolvido, formal, discursivo e concludente,
consistindo numa exposição
lógica e reflexiva e numa argumentação rigorosa com alto
nível de interpretação e
julgamento pessoal (Severino, 1996, p. 120). Mas não se
trata, frisamos, de um trabalho
teórico puro, já que estamos subsidiados nas práticas
relatadas na literatura e em nossas
próprias experiências de Modelagem em sala de aula.
Apresentamos neste trabalho, de
maneira sistematizada, o esboço de uma perspectiva teórica
que pretende fundamentar a
prática de Modelagem, suas limitações e possibilidades.
Esta alteração de foco pode gerar uma argumentação pela
mudança da
terminologia. Entretanto, tentativas de outros nomes – como
Modelação – não vingaram
na Educação Matemática brasileira (Biembengut, 1990). O
termo Modelagem continua
sendo reconhecido pela comunidade, o que garante sua
legitimidade.
2. As tendências em Modelagem e a corrente sócio-crítica
Modelagem pode ser definida em termos dos propósitos e
interesses subjacentes à
sua implementação, conduzindo a implicações conceituais e
curriculares. KaiserMessmer (1991) aponta duas visões gerais que predominam nas
discussões
internacionais sobre Modelagem: a pragmática e a científica.
A corrente pragmática argumenta que o currículo deve ser
organizado em torno
das aplicações, removendo os conteúdos matemáticos que não
são aplicáveis em áreas
não-matemáticas. Os tópicos matemáticos ensinados na escola
devem ser aqueles que
são úteis para sociedade (ibid., p. 84). A ênfase é colocada
no processo de resolução de
problemas aplicados, focalizando o processo de construção de
modelos matemáticos.
A corrente científica, por sua vez, busca estabelecer
relações com outras áreas a
partir da própria matemática. Ela considera a ciência
matemática e sua estrutura como
um guia indispensável para ensinar matemática, a qual não
pode ser abandonada
(ibid., p. 85). Modelagem, para os “científicos”, é vista
como uma forma de introduzir
novos conceitos.
Em suma, a corrente pragmática volta-se para aspectos externos
da matemática
enquanto que a científica, para os internos. O foco
permanece, portanto, na matemática
e sua capacidade de resolver problemas de outras áreas. 4
Skovsmose (1990) distingue três tipos diferentes de
conhecimento que podem ser
relacionados à Modelagem Matemática:
- o conhecimento matemático em si;
- o conhecimento tecnológico, que se refere a como construir
e usar um modelo
matemático;
- o conhecimento reflexivo, que se refere à natureza dos
modelos e os critérios
usados em sua construção, aplicação e avaliação.
A par disto, as correntes pragmática e científica estacionam
no conhecimento
matemático e tecnológico, mostrando reduzido interesse pelo
conhecimento reflexivo.
Porém, há uma parcela significativa da literatura que avança
até o domínio do
conhecimento reflexivo, como no caso de muitos estudos
brasileiros e internacionais
(Fiorentini, 1996; Julie, 1998; Keitel, 1993; Skovsmose,
1994).
Esta limitação na classificação realizada por Kaiser-Messmer
(ibid.) leva-nos a
sugerir uma terceira corrente, a qual chamaremos de
sócio-crítico. As atividades de
Modelagem são consideradas como oportunidades para explorar
os papéis que a
matemática desenvolve na sociedade contemporânea. Nem
matemática nem
Modelagem são “fins”, mas sim “meios” para questionar a
realidade vivida. Isso não
significa que os alunos possam desenvolver complexas
análises sobre a matemática no
mundo social, mas que Modelagem possui o potencial de gerar
algum nível de crítica. É
pertinente sublinhar que necessariamente os alunos não
transitam para a dimensão do
conhecimento reflexivo, de modo que o professor possui
grande responsabilidade para
tal.
Ilustremos com um exemplo imaginário. Suponhamos que os
alunos estejam com
o seguinte problema: planejar os gastos com publicidade de
uma empresa. Tomaram os
preços de vários publicitários para produzir propagandas.
Também obtiveram os preços
que os canais de televisão e rádios cobram para veiculá-las.
Através de programação
linear, acharam uma solução para o problema posto. Até aqui,
os alunos estiveram
envolvidos com o conhecimento de matemática em si e o
conhecimento de Modelagem.
Mas poderiam também analisar e examinar o que estão fazendo
ou o que fizeram: “Este
resultado é válido?”, “Por que?”, “Como podemos garantir?”,
“Ao traduzirmos a
situação em termos matemáticos, o que perdemos?”, “O que
ganhamos?”, “O que
garante os procedimentos matemáticos adotados?”, “Há
pressupostos implícitos?”, “As
manipulações matemáticas podem nos dizer algo sobre a
situação?”. Mais ainda: “É
seguro tomar a decisão baseada nesta abordagem matemática do
problema?”, Por que é 5
importante a propaganda para a empresa?”, “Qual o impacto
sobre as vendas?”, “Que
papel a mídia desempenha nos hábitos das pessoas?”, “Qual a
relação com o
consumismo?”, “Somos autônomos perante a mídia?”. Muitas
outras questões poderiam
ser formuladas. Todas elas se situam na dimensão do
conhecimento reflexivo. O que
chamamos de corrente sócio-crítica de Modelagem sublinha que
as atividades devem
potencializar a reflexão sobre a matemática, a própria
Modelagem e seu significado
social.
Nesta visão, não é apropriada a separação entre aquilo que é
útil ou não, como se
faz nas correntes pragmática ou científica. O que não tem
aplicações na atualidade,
pode ter posteriormente. Igualmente, aplicações podem gerar
novas idéias, novos
procedimentos. Tanto matemática aplicada como pura fazem
parte do que
convencionamos chamar de matemática, de modo os alunos podem
transitar livremente
entre ambas. Borba, Meneghetti e Hermini (1997) citam um
caso onde as alunas
utilizaram a situação do problema para justificar
procedimentos matemáticos. Já Araújo
(2000) fala-nos de um episódio em que as alunas se
descolaram do problema aplicado e
focaram na discussão acerca do conceito de continuidade.
Portanto, não advogamos um
currículo baseado nem somente nas aplicações nem somente na
estrutura da
matemática. Julgamos que a educação matemática deve envolver
todas as instâncias
implicadas no conhecimento matemático. Modelagem é uma delas.
É necessária, mas
não suficiente.
3. Modelagem como ambiente de aprendizagem
Modelagem pode ser entendida em termos mais específicos. Do
nosso ponto de
vista, trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem
situações por meio da
matemática sem procedimentos fixados previamente e com
possibilidades diversas de
encaminhamento. Os conceitos e idéias matemáticas exploradas
dependem do
encaminhamento que só se sabe à medida que os alunos
desenvolvem a atividade.
Porém, alguns casos podem ser mais propícios a alguns
conceitos matemáticos – por
exemplo, situações que envolvem variação podem levar a
idéias do Cálculo ou Pré-
cálculo -, mas nada garante que os alunos se inclinem por
eles.
Esta natureza “aberta” que sustentamos para as atividades de
Modelagem nos
impossibilita de garantir a presença de um modelo matemático
propriamente dito na
abordagem dos alunos. Somente a análise dos caminhos
seguidos na resolução pode nos 6
falar sobre sua ocorrência; eles podem desenvolver
encaminhamentos que não passem
pela construção de um modelo matemático.
Skovsmose (2000) apresenta a noção de ambiente de
aprendizagem para se referir
às condições nas quais os alunos são estimulados a
desenvolverem determinadas
atividades. O termo “ambiente” diz respeito a um lugar ou
espaço que cerca, envolve. O
ensino tradicional é um ambiente de aprendizagem, pois
estimula os alunos a
desenvolverem certas atividades; a história da matemática
como recurso didático,
também; e assim por diante. Modelagem, como entendemos,
estimula os alunos a
investigarem situações de outras áreas que não a matemática
por meio da matemática.
Podemos, agora, falar no ambiente de aprendizagem de
Modelagem. Apesar da
possibilidade de definir uma outra terminologia para
qualificar a Modelagem – como a
palavra método vindo da Matemática Aplicada - nos termos que
se queira, preferimos
procurar uma que traduza nosso entendimento sobre esta
temática.
Debrucemo-nos sobre o entendimento de Modelagem esboçado
neste texto.
Formulado de maneira sintética, assumimos que Modelagem é um
ambiente de
aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou
investigar, por meio da
matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade.
O ambiente é colocado aqui em termos de “convite” aos
alunos, tomando por
referência a argumentação de Skovsmose (ibid.). Segundo este
autor, os alunos podem
não se envolver nas tarefas sugeridas. O ambiente de
aprendizagem que o professor
organiza pode apenas colocar o convite. O envolvimento dos
alunos ocorre na medida
em que seus interesses se encontram com esse.
Neste caso, o convite faz referência à indagação e
investigação. Para Paulo Freire,
a indagação é o próprio caminho da educação:
O que o professor deveria ensinar – porque ele próprio
deveria sabê-lo – seria,
antes de tudo, ensinar a perguntar. Porque o início do
conhecimento, repito, é
perguntar. E somente a partir de perguntar é que se deve
sair em busca de
respostas e não o contrário (Freire & Faundez, 1998, p.
46).
A indagação não se limita à explicitação do problema, mas
uma atitude que
permeia o processo de resolução. Se tomarmos Modelagem de um
ponto de vista sóciocrítico, a indagação ultrapassa a formulação ou compreensão
de um problema,
integrando os conhecimento de matemática, de modelagem e
reflexivo. Mendonça7
(1993) apresentou o conceito de problematização para se
referir à formulação de um
problema, o qual pode ser parte do processo de indagar.
A investigação é o
caminho pelo qual a indagação se faz. É a busca, seleção,
organização e manipulação de informações. É uma atividade
que não conhece
procedimentos a priori, podendo comportar a intuição e as
estratégias informais. Podese dizer que Modelagem é uma investigação
matemática, pois ela se dá por meio de
conceitos, idéias e algoritmos desta disciplina. Porém,
deve-se distinguir das
investigações matemáticas que tratam de situações formuladas
em termos da
matemática pura, sem referência a outras áreas do
conhecimento (Abrantes, Ponte,
Fonseca et al., 1999).
Indagação e investigação são tidas como indissociáveis, pois
uma só ocorre na
mesma medida da outra. Se o aluno não avança no conhecimento
das informações sobre
a situação em estudo, não pode indagá-la; e vice-versa.
A situação em estudo diz respeito a um domínio fora da
disciplina matemática, ou
seja, outras disciplinas ou o dia-dia, chamado por alguns
autores por mundo real ou vida
real (Blum & Niss, 1991; Skovsmose, 2000). Esta
terminologia carrega uma limitação
semântica, pois opõe matemática e mundo real, o que não
aceitamos. Matemática é tão
real quanto qualquer outro domínio da realidade, já que,
sendo idéias, interfere nas
ações e práticas sociais (D’Ambrósio, 1996; Skovsmose,
1994). Por isto, colocamos o
termo entre aspas e preferimos falar em situações oriundas
de outras áreas da
realidade.
O entendimento de Modelagem que estamos apresentando
privilegia situações
com circunstâncias que as sustente. O crescimento de uma
planta, o fluxo escolar na
escola, a construção de uma quadra de esportes, o custo com
propaganda de uma
empresa, a criação comercial de perus, o sistema de
distribuição de água num prédio,
etc. são alguns exemplos possíveis.
Temos pouco interesse em situações fictícias elaboradas
artificialmente -
chamadas por Skovsmose (2000) de semi-realidade - para
atender aos propósitos do
ensino de matemática. Isto não quer dizer que elas não
possam envolver os alunos em
ricas discussões; podem sim e devem integrar o currículo.
Apenas, tal como as
investigações de matemática pura, não se enquadram
confortavelmente na perspectiva
de Modelagem que sustentamos aqui.
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